En 17 ecuaciones que cambiaron el mundo el autor Ian Stewart explora la historia y el impacto de las ecuaciones científicas famosas en la sociedad. Stewart argumenta que estas ecuaciones, a pesar de ser abstractas y matemáticas, tienen una historia rica y colorida y han tenido un profundo impacto en la comprensión del universo y en el desarrollo de la tecnología.
Entre las ecuaciones exploradas en el libro se encuentran la fórmula de Pitágoras, la ecuación de la relatividad especial de Einstein y la ecuación de Schrödinger.
Stewart argumenta que estas ecuaciones no solo son herramientas abstractas para los científicos, sino que también tienen una historia y una cultura asociadas.
El libro 17 ecuaciones que cambiaron el mundo de Ian Stewart ofrece una mirada retrospectiva en la historia de las matemáticas y la ciencia, y proporciona contexto para entender el desarrollo de las ecuaciones y su impacto en el pensamiento humano.
Stewart presenta las ideas matemáticas complejas de forma accesible y comprensible para los lectores no expertos en el tema.
El libro ofrece una nueva perspectiva sobre la ciencia y la tecnología, mostrando cómo las ecuaciones matemáticas han moldeado nuestro entendimiento del mundo y han cambiado la sociedad. Es una buena oportunidad para aprender más sobre las matemáticas y la ciencia, y para explorar el impacto de las ecuaciones en el desarrollo de la tecnología y la cultura.
Principales ideas de 17 ecuaciones que cambiaron el mundo de Ian Stewart
- El teorema de Pitágoras dio forma a nuestra comprensión de la geografía y del lugar de la Tierra en el sistema solar.
- La fórmula de Euler revolucionó el mundo de las matemáticas y nos ayuda a comprender el ADN.
- La distribución normal es una de las herramientas más importantes para analizar datos sociales, médicos y científicos.
- La ecuación de Navier-Stokes proporciona soluciones a innumerables problemas científicos y tecnológicos.
- La ley de gravitación de Newton permite predecir el sistema solar y las órbitas de las misiones espaciales.
- La teoría de la relatividad de Einstein cambió nuestra visión del espacio y el tiempo… y de nuestra vida cotidiana.
- La ecuación de Schrödinger cambió nuestra noción de la materia y es omnipresente en la electrónica moderna.
- La teoría del caos impregna la mayoría de las áreas de la ciencia y comprender el caos puede ayudar en la vida cotidiana.
- La ecuación Black-Scholes condujo al crecimiento masivo del sector financiero… y a los riesgos de una crisis financiera.
El teorema de Pitágoras dio forma a nuestra comprensión de la geografía y del lugar de la Tierra en el sistema solar.
A primera vista, el teorema de Pitágoras parece simple. Compuesto por la ecuación a²+b²=c², explica la relación entre los tres lados de un triángulo rectángulo donde a y b representan los lados que forman el ángulo recto y c es el lado más largo.
A pesar de su simplicidad, el teorema fue un primer paso vital en el desarrollo de las técnicas geométricas necesarias para hacer mapas precisos: la triangulación. Dado que todos los polígonos se pueden cortar en triángulos y todos los triángulos se pueden cortar en dos triángulos rectángulos, la ecuación nos permite calcular los lados y ángulos de cualquier polígono. En la cartografía, el área que se estudia se cubre con una red de triángulos, lo que nos permite medir distancias y ángulos entre extensiones de terreno.
Debido a los avances tecnológicos en las herramientas de medición, ya no se utiliza la triangulación explícita. Sin embargo, todavía está presente en los métodos utilizados para deducir ubicaciones a partir de los datos satelitales.
Las generalizaciones del teorema de Pitágoras también nos permiten medir la forma del universo. La Tierra tiene forma de esfera, claro, pero ¿qué pasa con el universo? Encontrar la respuesta a esta pregunta parece una tarea imposible: después de todo, no podemos salir para ver qué forma tiene.
Sin embargo, gracias a las generalizaciones del teorema de Pitágoras, hay algo más que podemos hacer.
El teorema de Pitágoras se aplica a triángulos en un plano. Pero sus generalizaciones pueden aplicarse a triángulos en espacios curvos. Por ejemplo, aplicar triángulos a una esfera permite medir nuestro planeta. Pero hay más: estas generalizaciones también pueden decirnos qué tan curvos son los espacios. Entonces, midiendo triángulos dentro del espacio, podemos intentar calcular su curvatura.
La fórmula de Euler revolucionó el mundo de las matemáticas y nos ayuda a comprender el ADN.
En geometría, un poliedro es un sólido tridimensional que consta de un conjunto de caras unidas por sus aristas (el cubo, por ejemplo). La fórmula de Euler para los poliedros es una afirmación simple pero notable:
Si contamos el número de caras (F), aristas (E) y vértices (V), o las esquinas del sólido, se cumple que F-E+V=2.
La fórmula de Euler cambió el mundo para los matemáticos, motivando el desarrollo de un nuevo tipo de geometría: la topología.
En topología no juegan ningún papel conceptos tan conocidos como longitudes y ángulos, y no se hace distinción entre triángulos, cuadrados y círculos. Las líneas pueden doblarse o estirarse, pero no se permite que se rompan.
Si nos dan dos figuras geométricas, es una pregunta matemática natural preguntar si son topológicamente iguales, es decir, ¿pueden deformarse entre sí doblándolas y estirándolas?
Esta pregunta puede ser sorprendentemente difícil de responder con sólo mirar una figura. Y es donde entra en juego la fórmula de Euler: puede distinguir objetos geométricos con sólo contar caras, aristas y vértices. Entonces, si queremos saber si un poliedro es topológicamente equivalente a algún otro sólido, calculamos F-E+V y comparamos los resultados. Si ambos son iguales a 2, son topológicamente iguales, y si no es así, no lo son.
Esta idea se convirtió en un rico campo de las matemáticas que explora las formas geométricas.
La topología tiene un número cada vez mayor de aplicaciones en biología. Como dos escaleras de caracol que se enrollan entre sí, las dos hebras que componen el ADN están intrincadamente entrelazadas. Y procesos biológicos importantes –en particular, la forma en que una célula copia su ADN cuando se divide– tienen que dar cuenta de la compleja geometría de esta doble hélice.
Los matemáticos y biólogos moleculares pueden utilizar la topología para analizar los giros y vueltas del ADN y así comprender cómo los diferentes procesos biológicos dependen de sus estructuras geométricas.
La distribución normal es una de las herramientas más importantes para analizar datos sociales, médicos y científicos.
En el siglo XIX, los matemáticos empezaron a ver patrones estadísticos en sucesos aleatorios. Descubrieron que la probabilidad de observar un valor de datos particular es mayor cerca del valor medio, es decir, el promedio, y desaparece rápidamente a medida que aumenta la diferencia con el valor medio. La fórmula de este fenómeno se llama distribución normal y, como su curva parece una campana, también se llama curva de campana.
En 1835, Adolphe Quetelet, matemático y sociólogo belga, recopiló grandes cantidades de datos sobre delincuencia, nacimientos, muertes, altura, peso, etc. Cuando trazó las proporciones de personas con cualquiera de esas variables sociales dadas, comenzó a ver patrones, obteniendo hermosas curvas en forma de campana.
Este fue un hallazgo notable. Nadie esperaba que las variables sociales se ajustaran a ninguna ley matemática porque sus causas subyacentes implicaban elecciones humanas y se pensaba que eran demasiado complejas. Este fenómeno demostró que las personas en masa se comportaban de manera más predecible que los individuos.
La distribución normal es una técnica utilizada habitualmente para probar hipótesis y ampliamente utilizada en ensayos médicos de nuevos fármacos y tratamientos. Digamos que los datos observacionales –que pueden ser defectuosos debido a ligeras variaciones en los aparatos o errores humanos– sugieren que un nuevo medicamento es dos veces más efectivo que uno antiguo. Pero podemos probar la confiabilidad de los datos con la ayuda de una característica sorprendente de la distribución normal: la probabilidad de errores en los datos de observación se distribuye normalmente.
El método funciona probando la hipótesis de que el nuevo fármaco es dos veces más eficaz y la hipótesis de que este resultado surgió por casualidad. Si la probabilidad de la segunda hipótesis, que viene dada por la curva de campana, es baja, el estudio se considera confiable.
La ecuación de Navier-Stokes proporciona soluciones a innumerables problemas científicos y tecnológicos.
La Tierra es un mundo acuático. Su superficie está cubierta de océanos, mares, ríos y lagos que fluyen. Y los patrones del agua atrajeron la atención de los matemáticos que querían intentar predecir el flujo.
Predecir el flujo fue posible en la primera mitad del siglo XIX gracias a la ecuación de Navier-Stokes. Un mundo de posibilidades se abrió gracias a la ecuación de flujo.
La ecuación Navier-Stokes ha revolucionado el transporte moderno. El medio de transporte más evidentemente beneficiado es el barco, pero los aviones y los automóviles también se benefician, ya que el fluido vital para los vuelos es el aire y los automóviles tienen diseños basados en principios aerodinámicos.
Por ejemplo, para minimizar la resistencia aerodinámica y lograr un consumo eficiente de combustible, la ecuación de Navier-Stokes es tan precisa que los ingenieros suelen utilizar soluciones informáticas basadas en la ecuación en lugar de realizar pruebas físicas en túneles de viento.
Y dado que hay millones de automóviles, barcos y aviones en el planeta, todos los cuales dependen de moverse de manera confiable dentro de un fluido, la ecuación de Navier-Stokes ha revolucionado el transporte moderno.
La ecuación también se utiliza ampliamente en la investigación médica. Puede calcular el flujo sanguíneo en el cuerpo humano, lo que resulta útil para cirugías como la derivación coronaria, que requiere control del flujo sanguíneo durante la cirugía.
Incluso tiene aplicación en modelos climáticos. Dos aspectos vitales del clima son la atmósfera y los océanos, los cuales son fluidos. La ecuación se puede utilizar para investigar el cambio climático.
La ley de gravitación de Newton permite predecir el sistema solar y las órbitas de las misiones espaciales.
Cuenta la leyenda que a Newton se le ocurrió su ley de gravitación un día, mientras estaba sentado en la hierba y una manzana cayó de un árbol y le golpeó en la cabeza. Sea cierta o no la historia, la manzana fue importante para Newton porque le hizo darse cuenta de que la misma ley de fuerzas podía explicar el movimiento de la manzana y el de la luna.
La ley de Newton permite predicciones precisas del movimiento del sistema solar. Su ley de gravitación determina la fuerza de atracción gravitacional entre dos cuerpos en términos de sus masas y la distancia entre ellos. Y el aspecto más importante de la ley de gravitación de Newton es la afirmación de que la gravitación actúa universalmente: dos cuerpos cualesquiera en cualquier parte del universo se atraen entre sí.
Esta idea permitió predecir con gran precisión los movimientos futuros del sistema solar, como el movimiento de la luna bajo la influencia del sol y la tierra.
La ley de gravitación de Newton se aplica habitualmente para diseñar órbitas para misiones espaciales. Hoy en día, las agencias espaciales del mundo, como la NASA y la ESA, todavía utilizan la ley de gravitación de Newton para calcular las trayectorias de las naves espaciales. Todo empezó con una simple pregunta: ¿Cuál es la ruta más eficiente de la Tierra a la Luna (o a los planetas)?
En las misiones Apolo de los años 1960 y 1970, las rutas se deducían basándose en la ley de Newton calculando la fuerza con la que la Tierra y la Luna actuarían sobre la nave espacial.
Y dado que la ley de gravitación de Newton nos permite calcular trayectorias para satélites artificiales, es lo que hace posibles las comunicaciones por satélite, la televisión, el Sistema de Posicionamiento Global (comúnmente conocido como GPS), los vehículos exploradores de Marte y las sondas interplanetarias.
En el siguiente apartado, veremos la teoría de la relatividad de Einstein, que eventualmente reemplazó a la teoría de la gravedad newtoniana. Sin embargo, para casi todos los fines prácticos, el enfoque newtoniano más simple sigue reinando.
La teoría de la relatividad de Einstein cambió nuestra visión del espacio y el tiempo… y de nuestra vida cotidiana.
La teoría de la relatividad de Einstein nos ha brindado la mejor comprensión de los orígenes del universo y la estructura del cosmos hasta la fecha. También ha estado en la raíz de una nueva física radical.
En la época de Newton, el tiempo era independiente del espacio y la masa y el tamaño de un cuerpo no cambiaban cuando se movía. Cuando Einstein presentó su teoría de la relatividad, estas afirmaciones resultaron ser erróneas. Además, la mecánica clásica había enseñado a todos los físicos a preguntarse: ¿velocidad relativa a qué? Pero la velocidad de la luz resultó ser constante, no relativa a ninguna cantidad física.
Finalmente, a Einstein se le ocurrió una noción completamente nueva de la gravedad, no representándola como una fuerza, sino como una curvatura del espacio-tiempo : un modelo cuatridimensional del espacio que incluye tres dimensiones del espacio y una dimensión del tiempo.
Las predicciones más dramáticas basadas en la teoría de la relatividad se dan a gran escala, como las sobre los agujeros negros, que nacen cuando una estrella masiva colapsa bajo su propia gravitación, y las sobre el universo en expansión, actualmente explicado por el Big Bang.
En la vida cotidiana, nos beneficiamos del uso de efectos relativistas que surgieron de la teoría de la relatividad.
Tomemos como ejemplo los sistemas de navegación por satélite en los automóviles. Estos sistemas calculan la posición de un coche utilizando señales de una red de satélites en órbita, es decir, GPS, basándose en señales horarias muy precisas.
La teoría de la relatividad predice que los relojes de los satélites deberían atrasarse 7 microsegundos (millonésimas de segundo) por día en comparación con los relojes terrestres. También predice una ganancia de 45 microsegundos por día causada por la gravedad de la Tierra.
El GPS basado en la física clásica sin tener en cuenta estos efectos relativistas rápidamente se volvería inútil. Diez minutos desde el GPS clásico nos situarían en la calle equivocada; mañana nos situaría en la ciudad equivocada; dentro de un año estaríamos en el planeta equivocado.
La ecuación de Schrödinger cambió nuestra noción de la materia y es omnipresente en la electrónica moderna.
La ecuación de Schrödinger es una afirmación de la teoría cuántica, una rama de la física que se ocupa de fenómenos a escalas de longitud atómica y subatómica.
El mundo cuántico es notoriamente extraño. Para darte una idea de su rareza, es un mundo en el que la luz es a la vez una partícula y una onda. Es tan diferente de nuestro cómodo mundo a escala humana que incluso los conceptos más simples cambian hasta quedar irreconocibles.
Y la ecuación de Schrödinger condujo a una revisión radical de la física a escalas muy pequeñas.
En el siglo XIX, los físicos descubrieron que la luz parecía comportarse como una onda en algunos experimentos, pero como una partícula en otros.
A medida que los físicos se enfrentaron a las escalas muy pequeñas del universo, decidieron que la luz no era lo único que tenía esta naturaleza extraña y dual (a veces de partículas, a veces de ondas): toda la materia la tenía.
La ecuación de Schrödinger modela la materia como una onda, no como una partícula, y describe cómo se propaga dicha onda. La ecuación permitió desarrollar una teoría capaz de explicar la dualidad onda-partícula: la teoría cuántica.
La teoría cuántica es una revisión radical de la física del mundo a escalas muy pequeñas: los objetos pueden estar en dos estados diferentes al mismo tiempo y cada objeto tiene una “función de onda” que describe la probabilidad de sus posibles estados: onda o partícula.
Pero la teoría cuántica no se limita a los laboratorios: la electrónica moderna depende de ella.
Los chips de memoria modernos están construidos con semiconductores, un material cristalino que tiene conductividad eléctrica. Se requiere conocimiento de la teoría cuántica para analizar cómo se mueven los electrones a través de un cristal. Por tanto, la tecnología de semiconductores se basa en la teoría cuántica.
Prácticamente todos los aparatos domésticos modernos, como ordenadores, teléfonos móviles, reproductores de CD, coches y frigoríficos contienen chips de memoria y, por tanto, dependen de este conocimiento cuántico.
Junto con la teoría de la relatividad de Einstein, la teoría cuántica constituye las teorías más efectivas del universo físico en la actualidad.
La teoría del caos impregna la mayoría de las áreas de la ciencia y comprender el caos puede ayudar en la vida cotidiana.
La teoría del caos ha pasado de ser una curiosidad matemática menor a convertirse en una característica básica de la ciencia. Muestra que incluso las teorías simples pueden generar un caos determinista, es decir, un comportamiento aleatorio sin causa aleatoria.
Imagínese un procesador de alimentos. Sus aspas siguen una regla muy sencilla: giran muy rápido. Y cuando la comida interactúa con las cuchillas, el resultado es caótico: la comida no gira con las cuchillas, sino que se mezcla.
Un efecto similar puede ocurrir en muchos modelos de fenómenos naturales.
En biología existe un modelo poblacional simple de animales en el que el tamaño de cada generación está determinado por la anterior. En teoría, el tamaño de la población de la generación cero determina completamente el tamaño de todas las generaciones siguientes. Pero en la actualidad rara vez disponemos de datos exactos de un estado inicial. Cualquier incertidumbre crece exponencialmente rápido y el tamaño de una población se vuelve impredecible muy rápidamente, y se ha producido el caos.
El caos tiene aplicaciones que inciden en la vida cotidiana.
El principal impacto del caos ha sido en el pensamiento científico. Por ejemplo, los ejemplos anteriores muestran que «determinista» no significa necesariamente «predecible». Y esta idea tiene aplicaciones prácticas.
Por citar un ejemplo importante, la teoría del caos cambió la forma en que se realizan los pronósticos meteorológicos. El tiempo es determinista, pero difícil de predecir: los modelos meteorológicos individuales crean caos muy fácilmente debido a la complejidad del tiempo. Entonces, en lugar de dedicar todos los esfuerzos computacionales a refinar una sola predicción, los meteorólogos ahora ejecutan muchos pronósticos y, si todos estos pronósticos coinciden, es probable que la predicción sea precisa.
Otras aplicaciones de la teoría del caos incluyen una mejor comprensión de los procesos de mezcla, ampliamente utilizados para fabricar píldoras medicinales o mezclar ingredientes alimentarios.
La ecuación Black-Scholes condujo al crecimiento masivo del sector financiero… y a los riesgos de una crisis financiera.
Los instrumentos financieros conocidos como derivados son la mayor fuente de crecimiento en el sector financiero. Los derivados no son dinero; son inversiones en inversiones, promesas sobre promesas y el estándar del sistema bancario mundial.
La ecuación de Black-Scholes hizo razonable la negociación de derivados y facilitó el crecimiento del sector financiero.
Los derivados comunes son opciones, es decir, contratos en los que el comprador de la opción adquiere el derecho de comprar o vender un producto básico dentro de un período de “vencimiento” específico por un precio acordado.
Por ejemplo, un comerciante firma un contrato para comprar mil toneladas de arroz en 12 meses a un precio de 500 dólares por tonelada. Después de cinco meses, decide vender la opción. Sabiendo cómo ha ido cambiando el precio de mercado durante ese tiempo, ¿cuánto vale el contrato ahora?
Si opera con dichas opciones sin saber la respuesta, está en problemas: obtener un precio incorrecto significa que la operación puede perder dinero. Por lo tanto, tiene que haber una manera de fijar el precio de una opción en cualquier momento antes del vencimiento (cuando termina el contrato). La ecuación de Black-Scholes hace precisamente eso: proporciona una manera de calcular el valor de una opción que es razonable en condiciones normales de mercado. ¡Y así ofrece a todos una entrada al sector financiero!
La ecuación de Black-Scholes condujo a los riesgos de negociar mediante fórmulas.
Funciona eficazmente en condiciones normales de mercado, pero el sector financiero mundial comenzó a inventar derivados cada vez más complejos, que a veces se basaban en activos que no eran reales pero que eran derivados en sí mismos.
Sin embargo, el complejo comercio de derivados todavía depende de la creencia de que las ecuaciones matemáticas pueden describir con precisión el mercado, aunque la evidencia apunta en una dirección totalmente diferente: entre el 75 y el 90 por ciento de todos los operadores de futuros pierden dinero en un año determinado.
Los peligros de operar según fórmulas en un mundo que no obedecía los cómodos supuestos detrás de la fórmula son los que desencadenaron la crisis bancaria de 2008-2009.